Notions de Physique
La
loi des aires :
Soit O un point fixe de l'espace et
un point matériel de masse m situé en M à l'instant t. Posons
OM=r.
A l'instant t + dt, le point matériel se trouve en M' tel que
MM' = dr
La résultante des forces appliquées au point matériel
est supposée passer par O. Ce point est donc soumis à un champ de forces centrales.
Dans ces conditions, le moment des forces par rapport à O est nul et le moment
cinétique s est invariant.
s = OM
L mv = r
L m dr /dt= constante
(1)
s
étant de direction fixe, le plan défini par OM
et v, normal à s,
est invariant. La trajectoire du point matériel est donc plane.
La relation (1) s'écrit : s
dt = m r
L dr
r L dr
est égal au double de l'aire dS du triangle OMM'. On a donc :
dS/dt = s/2m = 1/2C (2)
C est une constante appelée constante
des aires. La quantité dS/dt est appelée vitesse aréolaire
et est aussi une constante.
En intégrant la relation (2), on obtient :
S = 1/2Ct
L'aire S balayée par le rayon vecteur OM est proportionnelle au temps. On dit que la trajectoire est parcourue selon la loi des aires.
MOUVEMENT D' UN POINT MATERIEL SOUMIS A UNE FORCE CENTRALE INVERSEMENT PROPORTIONNELLE AU CARRE DE LA DISTANCE
La loi des aires prouve que le moment
cinétique du satellite par rapport à la planète, supposée fixe (on néglige la
vitesse de translation de la planète sur son orbite autour du soleil), est constant.
Le moment de la force exercée sur le satellite par rapport à la planète, est
donc nul.
Le satellite est donc soumis à une force dont le support
passe par le centre de la planète. Il s'agit d'une force centrale.
Soient a le demi-grand axe et b l'autre
demi-axe de l'ellipse, 2c la distance entre les foyers, e=c/a l'excentricité
de l'ellipse et p=b²/a=a(1-e²) le "paramètre" de l'ellipse.
En prenant l'origine au foyer et le grand axe pour axe
polaire, l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires s'écrit :
r = p/(1 + e cos Q)
Calculons la force en utilisant
la formule de Binet. Pour cela, calculons (d²/dQ²)(1/r)
en dérivant deux fois 1/r = (1 + cos Q)/p: On obtient en reportant dans la
formule de Binet :
|
FORMULE DE BINET
La formule de Binet, qui n'est pas démontrée ici, permet de calculer
la force centrale connaissant la trajectoire: f = - (mC²/r²) [ (d²/dQ²) (1/r) + (1/r) ] |
On utilise la troisième loi de Kepler.
Soit T la période de révolution du satellite sur son orbite, l'aire de l'ellipse
étant S = p ab, la vitesse aréolaire, égale à la moitié de la constante des
aires "C" est :
dS/dt = p ab/T = C/2
d'où C² = 4p²a²b² / T² = 4p²a3 b² / T² a = (4p²a3 / T²) p
Posons k = 4p²a3 / T², c'est une constante d'après la troisième loi de Kepler (a3/T² = Cte)
On obtient :
f = - k m / r²
La planète exerce sur ses satellites une force centrale attractive proportionnelle à l'inverse du carré de la distance.
De la généralisation à toute interaction de cette formule, on déduit la loi de Newton pour deux corps de masses M et m :
f = - K mM/r²
La constante K est appelée constante de gravitation. Elle a pour dimension M-1L3T-2 et pour valeur :
6,67 x 10-11 unités S.I.
On a posé k = 4p²a3/T² = KM.
Les mesures T, a et K permettent donc de déterminer la masse du soleil.
Si a (demi-grand axe de l'orbite) et T (période de révolution)
sont relatives au mouvement d'une planète de masse m autour du soleil, et si
a' et T' sont les grandeurs correspondantes pour le mouvement d'un satellite
autour de la planète, on obtient en divisant membre à membre l'égalité suivante
:
k / k' = M / m = a3 / T² x T'² / a'3
Cette relation permet de connaître la masse des planètes lorsque l'on connaît la masse du soleil, et d'en déduire par le même calcul la masse de ses satellites.
On utilise directement la formule de Binet :
f = - K mM/r² = - m (C² / r²) ( d²u/dQ² + u ) avec u = 1 / r ce qui donne l'équation différencielle de la trajectoire :
d²u / dQ² + u = K M / C²
Il s'agit d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec second membre. La solution en est :
r = p / ( 1 + e cos (Q - a))
avec p = C² / KM = C² / k et e = Ap
La trajectoire est donc une conique pour laquelle a est l'angle
que fait l'axe focal avec l'axe des coordonnées polaires.
L' énergie totale du mobile W est la somme
de son énergie potentielle et de son énergie cinétique.
Il est démontré que V = - K (Mm)/r
W = 1 / 2 m [ (C² / r4) (dr / dQ)² + C² / r² ] - KMm / r = 1 / 2 mC² [ (du / dQ)² + u² ] - KMmu
en posant u = - 1/r. Or on sait que u = K M / C² + A cos(Q - a) et du / dQ = -A sin (Q - a), d'où, en remplaçant dans l'expression de W :
W = 1/2 mC² [A² - (KM/C²)²] et en exprimant les constantes C et A en fonction de p et e :
W = 1/2 KM m ((e² -1) / p)
Or p est toujours positif, mais e est inférieur à 1 pour une trajectoire elliptique, égal à 1 pour une trajectoire parabolique et supérieur à 1 pour une trajectoire hyperbolique. Donc :
a- Si l'énergie totale constante est négative, la trajectoire est une ellipse (e < 1).
Lorsque le mobile décrit sa trajectoire,
l'énergie cinétique croît et l'énergie potentielle diminue, et vice versa, de
telle sorte que leur somme reste constante.
L'énergie cinétique est maximale (et l'énergie potentielle
minimale) lorsque le mobile passe au périgée P, la distance r étant alors
minimale : rp=a(1-e).
L'énergie cinétique est minimale (et l'énergie potentielle
maximale) lorsque le mobile passe à l'apogée A, la distance r étant alors
maximale : ra=
a(1+e).
b- Si l'énergie totale constante est nulle, la trajectoire est une parabole (e = 1).
c- SI l'énergie totale constante est positive, la trajectoire est une hyperbole (e > 1).
L'énergie cinétique croît, passe par un maximum lorsque la distance r est minimale (r=a=c/e) et décroît ensuite.
La vitesse de libération est la vitesse
au dessus de laquelle un engin lancé d'un astre s'en éloigne indéfiniment.
On considère une planète comme formée de couches concentriques
homogènes. Il résulte alors du théorème de Gauss appliqué au champ newtonien
que le champ de gravitation est le même que s'il était crée par une masse ponctuelle
située au centre de la planète et de même masse M.
Cette approximation est applicable aux satellites de
forme sphérique, dans lesquels la matière est généralement organisés en couches
concentriques.
D'autre part, d'après le théorème du mouvement du centre
d'inertie, le mouvement du centre d'inertie d'un engin lancé d'un astre est
celui d'un point matériel de masse m égale à celle de l'engin.
Si l'engin est lancé avec un vitesse vo d'un point situé à une distance ro du centre de l'astre, il possèdera une énergie totale W qui restera constante si on fait abstraction de la résistance d'une éventuelle atmosphère, et on a :
W = 1/2 mv²o - K Mm/ro
Si W=0, la trajectoire est parabolique; si W>0, la trajectoire est hyperbolique. Dans les deux cas, l'engin s'éloignera indéfiniment.
Donc, W >= 0 c'est à dire vo >= (2KM/ro)1/2
On appelle vitesse de libération vl la vitesse limite inférieure de vo pour que l'engin s'éloigne indéfiniment.
vl = (2KM/ro)1/2
Cette vitesse de libération, indiquée lorsqu'elle est significative dans le tableau détaillé des satellites, est très importante pour déterminer à priori l'existence d'une atmosphère sur un astre. Les molécules de gaz ont en effet une vitesse moyenne fonction de leur composition et de la température. Certains satellites sont trop petits pour retenir une quelconque atmosphère.